Que es un numero Perfecto?
Los matemáticos antiguos hicieron muchas conjeturas sobre los números perfectos basándose en los cuatro números que ya conocían. Resulta que muchas de estas suposiciones son incorrectas. Una es que como 2, 3, 5 y 7 son exactamente los primeros cuatro primos, se obtendrá el quinto número perfecto para n = 11, el quinto primo. Sin embargo, 211-1 = 2047 = 23 x 89 no es un número primo, por lo que n = 11 no produce un número entero. Otras dos suposiciones incorrectas son:
El quinto número perfecto consta de cinco números, porque los primeros cuatro números son 1, 2, 3 y 4, respectivamente. Los números perfectos terminarán alternativamente en el número 6 y 8. El quinto número perfecto (33.550.336) consta de 8 dígitos, lo que contradice la primera hipótesis. Para el segundo número, el quinto número perfecto termina con el número 6, pero también el sexto (8,589,869.056) termina con el número 6. (no es difícil probar el hecho de que el último número par perfecto expresado en base 10 es siempre 6 o 8 ).
Fue en 1603, Pietro Cataldi descubrió los números perfectos sexto y séptimo, 216 (217 – 1) = 8,589.869,056 y 218 (219 – 1) = 137,438,691,328.1
Es cierto que si 2n – 1 es un número primo, entonces n también debe ser un número primo, pero lo contrario no es necesariamente cierto. Hoy en día, los números primos producidos por la fórmula 2n – 1 se denominan números primos de Mersenne, que llevan el nombre del monje del siglo XVII Maren Mersenne, que estudió teoría de números y números perfectos.
Más tarde, Leonhard Euler demostró en el siglo XVIII que todos los números pares perfectos se derivan de la fórmula encontrada por Euclides.
Se desconoce la existencia de números perfectos impares. Sin embargo, hay un resultado parcial al respecto. Si hay un número impar perfecto, debe ser mayor que 10300 y debe tener al menos 8 factores primos distintos (y al menos 11 si no es divisible por 3). Uno de estos factores debe ser mayor a 107, dos de ellos deben ser mayores a 10,000 y tres de ellos deben ser mayores a 100.